Okay, die Fotos zeigen schon einiges: Das Rad wird richtig echt gefahren und hat 7 Ritzel; die Operation soll vermutlich preiswert bleiben.
Die Kurbel ist schon da, die Kette soll sowieso neu, ein anderer Umwerfer muss auch her.
Das kurze Schaltwerk wird mit der Dreifachkurbel nicht zurechtkommen.
Das Tretlager muss für Dreifach auch getauscht werden und braucht eine längere Welle.
Ich würde wohl eher ein anderes "mittleres" Kettenblatt besorgen und die neue Kurbel zweifach-compact fahren, aber Schaltwerk und Umwerfer behalten. Da ist die Frage, ob das nicht sogar mit dem originalen Tretlager funktioniert.
Vorteil: Übersetzungsbereich deutlich nach unten erweitert, sonst nicht viel Arbeit.
Nachteil: Ein gutes 34er Kettenblatt kostet vielleicht schon genauso viel, wie ein gebrauchter Umwerfer und ein billiges Tretlager.
Test der Tretlagerbreite:
Für Rennräder mit Zweifach-Antrieb nimmt man eine "Kettenlinie" von 43,5 mm an, für Rennräder mit Dreifach 45 mm.
https://arnowelzel.de/projekte/sheldon-brown/alles-uber-die-kettenlinie
Nimmt man eine MTB-Kurbel mit deren richtiger Wellenlänge, muss man aber beachten, dass die MTB-Hinterbauten 5 mm breiter sind und die Kettenlinie dort eher 47,5 mm beträgt, also die MTB-Welle aus der originalen Liste am Rennrad nicht unbedingt passt.
Ich würde einfach mal die Dreifach-Kurbel auf die originale Welle stecken, ordentlich festziehen und dann messen, wo das mittlere Blatt landet und wo die Mitte zwischen mittlerem und großem Blatt landet.
Dafür würde ich die Mitte des Sitzrohrs nicht mit dem wackelnden Lineal schätzen, sondern vom Maß für die Kettenlinie den halben Sitzrohrdurchmesser abziehen und den Zollstock (oder Messschieber) einfach seitlich ans Rohr halten. Alles andere wäre bloß ein Ratespiel und Glückssache.
Bei einem Sitzrohr mit 28,6 mm wären das 29,2 bzw. 31,2 mm. Aufs Zehntel kommt es dabei nicht an - aber aufs Sitzrohr, und das kann bei Franzosen auch mal nur 28 mm dick sein.
Ich vermute fast, dass die Dreifach-Kurbel an der richtigen Stelle für den Zweifach-Antrieb landen wird. Wenn sie zu weit innen landet, kannst Du 1-2 mm mit Unterlegscheiben unter der rechten Tretlagerschale korrigieren. Die hat heute jeder Radladen rumliegen, weil man sie bei vielen moderneren Lagern sowieso zum Anpassen verwendet.
Option:
Die hintere Nabe müsste schon einen Kassettenfreilauf haben. Auf einen 7-fach-Freilauf passen 8 Ritzel einer 9-fach-Kassette und bringen einen zusätzlichen Gang, aber dafür braucht man natürlich auch den passenden 9-fach Schalthebel und schmalere Rädchen fürs Schaltwerk. Ist also eigentlich wieder Unsinn, wenn es billig und einfach bleiben soll.